➀ Factorar un Monomio: 

En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término 

15ab = 3 * 5 a b 

Regla:

Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común.

  ➁ Factor Común Monomio: 

En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términos 

Como puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común 

a² + 2a = a ( a + 2 ) 





➂ Factor Común Polinomio: 
x [ a + b ] + m [ a + b ] 

En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio 

x [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b ) 




➃ Factor Común por Agrupación de Términos: 
En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo 

ax + bx + ay + by = 

[ax + bx] + [ay + by] 


Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio 

[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) 


Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio 

x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b) 

Regla:

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o más términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

➄ Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)² 

Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla: 

☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino 


Factorar: m² + 6m + 9 

m² + 6m + 9 
↓…………..↓ 
m..............3 

➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término 
[ m ] y [ 3 ] 


➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado 

(m + 3)² 


Nota: 
Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)² 




➌ Ahora aplica la Regla del TCP 

(m + 3)² 

El Cuadrado del 1er Termino = m² 

[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m 

[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9 



➍ Junta los Términos 

m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla 

Regla:

Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.

➅ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b) 

De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo) 

a² - b² = (a - b) (a + b) 


4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3) 

Regla:

Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos.

➆ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos: 

Factorar (a + b)² - c² 

(a + b)² - c² 


Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b) 


[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis 


(a + b + c) (a + b – c) 

Regla:

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuánto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factor izado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

➇ Trinomio de la Forma; x² + bx + c 

Factorar x² + 7x + 12 


➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio 

(x.......) (x.......) 



➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12 

4 + 3 = 7 

4 x 3 = 12 



➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis 

(x + 4)(x + 3) 



Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3) 

Regla:

El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.
El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.
El tercer término es independiente (no contiene la variable).

Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer término de cada binomio es la variable y el segundo término en cada uno de los factores (paréntesis), son dos números, uno en cada paréntesis de tal forma que la suma de los dos del coeficiente del segundo término del trinomio y la multiplicación de los dos del tercer término del trinomio, el signo del segundo término de cada factor depende de lo siguiente:

° Si el signo del tercer término es negativo, entonces uno será positivo y el otro negativo, el mayor de los dos números llevara el signo del segundo término del trinomio y el otro número llevara el signo contrario.
° Si el signo del tercer término es positivo, entonces los dos signos serán iguales (positivos o negativos), serán el signo del segundo término del trinomio.

➈ Trinomio de la Forma; ax² + bx + c 

Factorar 6x² - x – 2 = 0 

Pasos: 

➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación 

6x² - x – 2 

36x² - [ 6 ] x – 12 



➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente

(6x.......) (6x.......) 



➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ] 


➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ] 

- 4 + 3 = - 1 

[ - 4] [ 3 ] = - 12 



➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis 

(6x - 4) (6x - 3) 



➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que reducirlos 

(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1) 


Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2) 

Regla:

Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1.
Se procede de la siguiente forma:
Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, de esta forma se convierte en un trinomio de la forma:

x²+bx+c

➉ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³ 


Suma de Cubos: 
============ 

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²) 


Se resuelve de la siguiente manera 

El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b) 


El cuadrado del 1er termino, [ a² ] 


[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ] 


[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ] 

Regla:

Para factor izar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es más si todos los signos del cubo son más y es menos si los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos.

Diferencia de Cubos: 
============== 

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) 


Se resuelve de la siguiente manera 

El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b) 


El cuadrado del 1er termino, [ a² ] 


[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ] 


[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ] 

Regla:

Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor esta formado por tres términos así: la priemra raíz al cuadrado, la primera raíz por la segunda y la segunda raíz al cuadrado. 

10-SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES:

Regla:

a – b es divisible entre a – b, cuando n es par o impar.

a + b es divisible entre a + b, siempre que n sea par.

a – b es divisible entre a + b, cuando n es par.

a + b nunca es divisible entre a – b.

m + n

m + n = m – mn + mn – mn + n